バーゼル問題
概要
- $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$が収束するか
- 収束する場合の値は何か
という問題について考えます。
この問題をバーゼル問題と呼びます。
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$が収束するか
$$
\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}\quad(n\geq 2)
$$
の関係式を用います。
$$
\begin{align}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}&=1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2} \\
&<1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)} \\
&=1+\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right) \\
&=1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots \\
&=2
\end{align}
$$
したがって、この級数は収束します。
収束する場合の値は何か
$\sin x$をマクローリン展開します。
$$
\sin x=\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots
$$
これより、$\frac{\sin x}{x}$は、
$$
\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{1!}-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots \tag{1}
$$
左辺は$x=\pm n\pi$ ($n$は自然数)のとき0になるので、
$$
\begin{align}
\frac{\sin x}{x}&=\left(1-\frac{x}{1\pi}\right)\left(1+\frac{x}{1\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\cdots \\
&=\left(1-\frac{x^2}{1^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots \tag{2}
\end{align}
$$
と表すことができます。
式1と式2で$x^2$の係数を比較します。
式1の$x^2$の係数は、
$$
-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}
$$
式2の$x^2$の係数は、
$$
-\left(\frac{1}{1^2\pi^2}+\frac{1}{2^2\pi^2}+\frac{1}{3^2\pi^2}+\cdots\right)=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}
$$
したがって、
$$
-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=-\frac{1}{6}
$$
より、
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}
$$
となります。