重力ポテンシャルとポアソン方程式
導入
以前に、アインシュタイン方程式の係数を求める記事を作成したのですが、その記事の最初で、重力ポテンシャルが$\nabla^2\phi=4\pi G\rho$の形で表せると紹介しています。
これは少し導入が雑なのと、自分自身あまりよく理解していなかったため、今回改めて調べて記事にまとめることにしました。
位置エネルギーの定義
$\boldsymbol{F}$を保存力としたとき、以下のようにして定義される量を位置エネルギーとします。
$$
U(\boldsymbol{r})=-\int_{\boldsymbol{r_0}}^{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}
$$
位置$\boldsymbol{r_0}$から$\boldsymbol{r}$まで移動する際に、保存力に逆らう力$-\boldsymbol{F}$によってなされる仕事です。
力学的エネルギー保存則
物体が位置$\boldsymbol{r_A}$から$\boldsymbol{r_B}$まで保存力$\boldsymbol{F}$によって移動した場合に受け取る運動エネルギーは、保存力$\boldsymbol{F}$によってなされた仕事に等しいので、
$$
\begin{align} \left.\frac{1}{2}mv^2\right|_{\boldsymbol{r_B}}-\left.\frac{1}{2}mv^2\right|_{\boldsymbol{r_A}}&=\int_{\boldsymbol{r_A}}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \\ &=\int_{\boldsymbol{r_A}}^{\boldsymbol{r_0}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}+\int_{\boldsymbol{r_0}}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \\ &=-\int_{\boldsymbol{r_0}}^{\boldsymbol{r_A}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}+\int_{\boldsymbol{r_0}}^{\boldsymbol{r_B}}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r} \\ &=U(\boldsymbol{r_A})-U(\boldsymbol{r_B}) \end{align}
$$
したがって、
$$ \left.\frac{1}{2}mv^2\right|_{\boldsymbol{r_A}}+U(\boldsymbol{r_A})=\left.\frac{1}{2}mv^2\right|_{\boldsymbol{r_B}}+U(\boldsymbol{r_B})=\text{const.} $$
重力ポテンシャルの定義
単位質量あたりの位置エネルギー$\Phi(\boldsymbol{r})$を重力ポテンシャルとします。
$$
\Phi(\boldsymbol{r})=\frac{1}{m}U(\boldsymbol{r})
$$
位置エネルギーの定義から、
$$
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=-\nabla U(\boldsymbol{r})=-m\nabla\Phi(\boldsymbol{r})
$$
ここで登場した$\nabla$ (nabla)について少し説明しておきます。
スカラー場$f$に対して$\nabla f$は以下のように計算します。
これを勾配(gradient)と呼びます。
$$
\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{\hat{x}}+\frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{\hat{y}}+\frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}}
$$
一方、ベクトル場$\boldsymbol{v}$に対しては以下のように計算します。
これを発散(divergence)と呼びます。
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{v}=\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}
$$
さらに、$\nabla$を2回適用したものをラプラス作用素と呼び、記号$\Delta$で表すことがあります。
$$
\Delta=\nabla\cdot\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$
重力場$\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})$を使えば、ニュートンの運動方程式より、
$$
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})=m\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})
$$
先程の式と比較すると、$-m\nabla\Phi(\boldsymbol{r})=m\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})$より、
$$
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})=-\nabla\Phi(\boldsymbol{r})
$$
重力ポテンシャルとポアソン方程式
位置$\boldsymbol{r’}$にある質量$m$の質点が作る重力場は、重力定数を$G$として、
$$
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})=-G\frac{m(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}
$$
連続的な質量分布をもつ場合は、質量密度$\rho(\boldsymbol{r’})$として、すべての要素について足し合わせます。
$$
\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})=-G\int\frac{\rho(\boldsymbol{r’})(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}d^3r’
$$
ここで、
$$
\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}\right)=4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})
$$
という関係式を使えば、
$$
\begin{align}
\nabla\cdot\boldsymbol{g}(\boldsymbol{r})&=-G\int\rho(\boldsymbol{r’})\nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}}{|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’}|^3}\right)d^3r’ \\
&=-G\int\rho(\boldsymbol{r’})4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r’})d^3r’ \\
&=4\pi G\rho(\boldsymbol{r})
\end{align}
$$
$\nabla\cdot\boldsymbol{g}=-\nabla^2\Phi=-4\pi G\rho$より、
$$
\nabla^2\Phi=4\pi G\rho
$$
となります。
ポアソン方程式について何も説明していませんでしたが、$f$を既知の関数、$u$を未知の関数としたとき、$\nabla^2 u=f$の形で与えられる2階の偏微分方程式をポアソン方程式と呼びます。
参考: Wikipedia
$\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$の関係式を見ると、ちょうどポアソン方程式の形になっているのがわかります。
積分形式
ChatGPTに質問したら、積分形式についても教えてくれたので、ついでに紹介しておきます。
発散定理より、
$$
\int_V\left(\nabla\cdot\boldsymbol{g}\right)dV=\oint_S\boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{A}
$$
$\nabla\cdot\boldsymbol{g}=-4\pi G\rho$を代入すると、
$$
\oint_S\boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{A}=\int_V(-4\pi G\rho)dV=-4\pi GM_{\text{enc}}
$$
より、
$$
\oint_S\boldsymbol{g}\cdot d\boldsymbol{A}=-4\pi GM_{\text{enc}}
$$
という関係式を導出できます。
なお、$M_{\text{enc}}=\int_V\rho dV$です。