リーマンテンソル

目的

一般相対性理論では歪んだ時空を考えるため、時空がどれくらい歪んでいるのか表す量を構成したいと思います。
このためには、ベクトルを平行移動させたときに生じる向きのずれを考えればよさそうです。

たとえば、地球の赤道上のある一点で地面に北向きのベクトルがあるとします。
このベクトルを平行移動して地球の裏側までもっていっても北向きのままです。
しかし、そこから北極に向かって平行移動してそのまま元の場所に戻ってくると、南向きのベクトルに変わっています。
もしも地球がFlat Eartherの信じるような歪みのない平面ならこのような変化は起こらないのですが、地面が曲がっている場合には平行移動によってベクトルの向きに変化が生じます。
この変化を数式で表すことを考えたいと思います。

ベクトルを平行移動させた場合の差分を計算する

あるベクトルを異なる経路で同じ場所まで平行移動させ、経路の違いによって生じるベクトルの差分を計算します。

まず、$x_0$にあるベクトルを$x_1$まで平行移動します。
ベクトルの平行移動については、「共変微分」のところで紹介したものと同じ操作を行います。

$$
V_{//\nu}(x_1)=V_{\nu}(x_0)+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}(x_0)V_{\rho}(x_0)\Delta x^{\sigma}
$$

このベクトルをさらに$x_2$まで平行移動します。

$$
V_{//\nu}(x_2)=V_{//\nu}(x_1)+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_1)V_{//\beta}(x_1)\Delta x^{\alpha}
$$

最初の式を二つ目の式に代入します。

$$
V_{//\nu}(x_2)=(V_{\nu}(x_0)+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}(x_0)V_{\rho}(x_0)\Delta x^{\sigma})+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_1)(V_{\beta}(x_0)+\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}(x_0)V_{\rho}(x_0)\Delta x^{\sigma})\Delta x^{\alpha}
$$

$\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_1)$だけが$x_1$での値になっているので、$x_0$での値を用いて以下のように近似します。

$$
\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_1)=\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_0)+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_0)}{\partial x^{\gamma}}\Delta x^{\gamma}
$$

これを用いると、

$$
\begin{align*}
&V_{//\nu}(x_2)=(V_{\nu}(x_0)+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}(x_0)V_{\rho}(x_0)\Delta x^{\sigma}) \\
&\qquad+(\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_0)+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}(x_0)}{\partial x^{\gamma}}\Delta x^{\gamma})(V_{\beta}(x_0)+\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}(x_0)V_{\rho}(x_0)\Delta x^{\sigma})\Delta x^{\alpha}
\end{align*}
$$

すべて$x_0$での値を用いて表現できたので、以降は$(x_0)$という表記は省略します。

$$
\begin{align*}
V_{//\nu}(x_2)&=(V_{\nu}+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma})+(\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\gamma}}\Delta x^{\gamma})(V_{\beta}+\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma})\Delta x^{\alpha} \\
&=V_{\nu}+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}V_{\beta}\Delta x^{\alpha}+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}\Delta x^{\alpha} \\
&\qquad+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\gamma}}\Delta x^{\gamma}V_{\beta}\Delta x^{\alpha}+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\gamma}}\Delta x^{\gamma}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}\Delta x^{\alpha}
\end{align*}
$$

最後の項は微小量が3次になっていて小さすぎるので捨てることにします。
2次の項を消してしまうと後の計算で何も残らなくなるので、2次の項は残しておきます。

$$
\begin{align*}
V_{//\nu}(x_2)&=V_{\nu}+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}V_{\beta}\Delta x^{\alpha}+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}\Delta x^{\alpha}+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\gamma}}\Delta x^{\gamma}V_{\beta}\Delta x^{\alpha} \\
&=V_{\nu}+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}V_{\beta}\Delta x^{\alpha}+(\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}V_{\rho}+\frac{\partial \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\sigma}}V_{\beta})\Delta x^{\sigma}\Delta x^{\alpha} \\
&=V_{\nu}+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}V_{\rho}\Delta x^{\sigma}+\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}V_{\beta}\Delta x^{\alpha}+(\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}+\frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\sigma}})V_{\rho}\Delta x^{\sigma}\Delta x^{\alpha}
\end{align*}
$$

ここで$\sigma$と$\alpha$を入れ替えると、別の経路を通って$x_2$まで平行移動したことになります。

$$
V’_{//\nu}(x_2)=V_{\nu}+\Gamma^{\rho}_{\nu\alpha}V_{\rho}\Delta x^{\alpha}+\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}V_{\beta}\Delta x^{\sigma}+(\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}\Gamma^{\rho}_{\beta\alpha}+\frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}}{\partial x^{\alpha}})V_{\rho}\Delta x^{\alpha}\Delta x^{\sigma}
$$

$V_{//\nu}(x_2)$と$V’_{//\nu}(x_2)$の差を計算します。

$$
\begin{align*}
V_{//\nu}(x_2)-V’_{//\nu}(x_2)&=(\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}+\frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\sigma}})V_{\rho}\Delta x^{\sigma}\Delta x^{\alpha}-(\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}\Gamma^{\rho}_{\beta\alpha}+\frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}}{\partial x^{\alpha}})V_{\rho}\Delta x^{\alpha}\Delta x^{\sigma} \\
&=(\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}\Gamma^{\rho}_{\beta\sigma}+\frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\sigma}}-\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}\Gamma^{\rho}_{\beta\alpha}-\frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}}{\partial x^{\alpha}})V_{\rho}\Delta x^{\alpha}\Delta x^{\sigma}
\end{align*}
$$

括弧の中の値は平行移動する経路やベクトルの取り方に依存しない、時空の歪みを表す量だと考えられます。

$(\nabla_{\rho}\nabla_{\mu}-\nabla_{\mu}\nabla_{\rho})V_{\nu}$を計算してみる

突然ですがここで$(\nabla_{\rho}\nabla_{\mu}-\nabla_{\mu}\nabla_{\rho})V_{\nu}$を計算してみましょう。
$(\nabla_{\rho}\nabla_{\mu}-\nabla_{\mu}\nabla_{\rho})V_{\nu}=\nabla_{\rho}(\nabla_{\mu}V_{\nu})-\nabla_{\mu}(\nabla_{\rho}V_{\nu})$なので、$\nabla_{\rho}(\nabla_{\mu}V_{\nu})$と$\nabla_{\mu}(\nabla_{\rho}V_{\nu})$をそれぞれ計算します。

$$
\begin{align*}
\nabla_{\rho}(\nabla_{\mu}V_{\nu})&=\partial_{\rho}(\nabla_{\mu}V_{\nu})-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}(\nabla_{\mu}V_{\sigma})-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}(\nabla_{\sigma}V_{\nu}) \\
&=\partial_{\rho}(\partial_{\mu}V_{\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}V_{\alpha})-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}(\partial_{\mu}V_{\sigma}-\Gamma^{\beta}_{\sigma\mu}V_{\beta})-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}(\partial_{\sigma}V_{\nu}-\Gamma^{\gamma}_{\nu\sigma}V_{\gamma}) \\
&=\partial_{\rho}\partial_{\mu}V_{\nu}-(\partial_{\rho}\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu})V_{\alpha}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}(\partial_{\rho}V_{\alpha}) \\
&\qquad-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}(\partial_{\mu}V_{\sigma}-\Gamma^{\beta}_{\sigma\mu}V_{\beta})-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}(\partial_{\sigma}V_{\nu}-\Gamma^{\gamma}_{\nu\sigma}V_{\gamma}) \\
&=\partial_{\rho}\partial_{\mu}V_{\nu}-(\partial_{\rho}\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu})V_{\alpha}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu}(\partial_{\rho}V_{\alpha}) \\
&\qquad-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}(\partial{\mu}V_{\sigma})+\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}\Gamma^{\beta}_{\sigma\mu}V_{\beta}-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}(\partial_{\sigma}V_{\nu})+\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}\Gamma^{\gamma}_{\nu\sigma}V_{\gamma}
\end{align*}
$$

$\nabla_{\mu}(\nabla_{\rho}V_{\nu})$は$\mu$と$\rho$を入れ替えるだけです。

$$
\begin{align*}
&\nabla_{\mu}(\nabla_{\rho}V_{\nu})=\partial_{\mu}\partial_{\rho}V_{\nu}-(\partial_{\mu}\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho})V_{\alpha}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}(\partial_{\mu}V_{\alpha}) \\
&\qquad-\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu}(\partial_{\rho}V_{\sigma})+\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu}\Gamma^{\beta}_{\sigma\rho}V_{\beta}-\Gamma^{\sigma}_{\rho\mu}(\partial_{\sigma}V_{\nu})+\Gamma^{\sigma}_{\rho\mu}\Gamma^{\gamma}_{\nu\sigma}V_{\gamma}
\end{align*}
$$

なので、

$$
\begin{align*}
(\nabla_{\rho}\nabla_{\mu}-\nabla_{\mu}\nabla_{\rho})V_{\nu}&=\nabla_{\rho}(\nabla_{\mu}V_{\nu})-\nabla_{\mu}(\nabla_{\rho}V_{\nu}) \\
&=\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}\Gamma^{\beta}_{\sigma\mu}V_{\beta}+(\partial_{\mu}\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho})V_{\alpha}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu}\Gamma^{\beta}_{\sigma\rho}V_{\beta}-(\partial_{\rho}\Gamma^{\alpha}_{\nu\mu})V_{\alpha}
\end{align*}
$$

$\alpha$と$\beta$は同じ項に同時に現れない独立した変数なので、$\gamma=\alpha=\beta$とおきます。

$$
(\nabla_{\rho}\nabla_{\mu}-\nabla_{\mu}\nabla_{\rho})V_{\nu}=(\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}\Gamma^{\gamma}_{\sigma\mu}+\partial_{\mu}\Gamma^{\gamma}_{\nu\rho}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\mu}\Gamma^{\gamma}_{\sigma\rho}-\partial_{\rho}\Gamma^{\gamma}_{\nu\mu})V_{\gamma}
$$

ここで添字を$\gamma\rightarrow\rho,\mu\rightarrow\sigma,\rho\rightarrow\alpha,\sigma\rightarrow\beta$と置換すると、括弧の中が先程計算した、平行移動後のベクトルの差を表す式と一致します。

リーマンテンソルの定義

ここで、$(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu})V^{\rho}=R_{\mu\nu\sigma}^{\quad\rho}V^{\sigma}$と書き表すことにします。
この$R_{\mu\nu\sigma}^{\quad\rho}$をリーマンテンソルと呼び、これは時空の歪みを表す量です。
先に導出したとおり、

$$
R_{\mu\nu\rho}^{\quad\sigma}=\frac{\partial \Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}}{\partial x^{\nu}}-\frac{\partial \Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}}{\partial x^{\mu}}+\Gamma^{\alpha}_{\mu\rho}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}\Gamma^{\sigma}_{\alpha\mu}
$$

となります。
(添字は相対性理論概説に合わせました)

自分は最初、いきなり$\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu}$を時空の歪みを表す量として用いる、と言われてよくわからなかったのですが、先に紹介したとおり、ベクトルを平行移動した際のずれが考え方の根底にあるわけですね。

$R_{\mu\nu\rho\sigma} \equiv R_{\mu\nu\rho}^{\quad\sigma’}g_{\sigma’\sigma}$と定義すると、リーマンテンソルはその添字について以下の対称性をもちます。

$$
R_{\mu\nu\rho\sigma}=-R_{\nu\mu\rho\sigma}=-R_{\mu\nu\sigma\rho}=R_{\sigma\rho\mu\nu}
$$

リーマンテンソルを縮約して得られる$R_{\mu\nu} \equiv g^{\rho\sigma}R_{\mu\rho\nu\sigma}$をリッチテンソル、$R \equiv g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$をリッチスカラーと呼びます。