測地線方程式

平坦な時空($ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$)で外力のかかっていない粒子の位置座標$x^{\mu}(\tau)$は、

$$
\frac{d^2x^{\mu}(\tau)}{d\tau^2}=0
$$

に従って時間発展します。
($\tau$は粒子の固有時間です)

この運動方程式を別の座標$x^{\mu}(\tau)=x^{\mu}(x’^{\nu}(\tau))$で表すと、

$$
\begin{align*}
0&=\frac{d^2x^{\mu}(\tau)}{d\tau^2} \\
&=\frac{d}{d\tau}(\frac{dx’^{\nu}(\tau)}{d\tau}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}) \\
&=\frac{d^2x’^{\nu}(\tau)}{d\tau^2}\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}+\frac{dx’^{\rho}(\tau)}{d\tau}\frac{dx’^{\nu}(\tau)}{d\tau}\frac{\partial^2x^{\mu}}{\partial x’^{\rho}\partial x’^{\nu}}
\end{align*}
$$

より、

$$
\frac{d^2x’^{\sigma}(\tau)}{d\tau^2}+\frac{\partial x’^{\sigma}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial^2x^{\mu}}{\partial x’^{\rho}\partial x’^{\nu}}\frac{dx’^{\rho}(\tau)}{d\tau}\frac{dx’^{\nu}(\tau)}{d\tau}=0
$$

新座標$x’^{\mu}$における計量$g’_{\mu\nu}$は元の座標$x^{\mu}$における計量$\eta_{\mu\nu}$を

$$
g’_{\mu\nu}=\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x’^{\nu}}\eta_{\alpha\beta}
$$

と変換したもので与えられます。

これを偏微分した式

$$
\partial_{\rho}g’_{\mu\nu}=\eta_{\alpha\beta}(\frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x’^{\rho}\partial x’^{\mu}}\frac{\partial x^{\beta}}{\partial x’^{\nu}}+\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x’^{\mu}}\frac{\partial^2x^{\beta}}{\partial x’^{\rho}\partial x’^{\nu}})
$$

を添字を置換しつつ足し合わせることで、

$$
\frac{\partial x’^{\sigma}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial^2 x^{\mu}}{\partial x’^{\rho}\partial x’^{\nu}}=\frac{1}{2}g’^{\sigma\lambda}(\partial_{\rho}g’_{\nu\lambda}+\partial_{\nu}g’_{\rho\lambda}-\partial_{\lambda}g’_{\rho\nu})=\Gamma’^{\sigma}_{\rho\nu}
$$

というように、計量$g’_{\mu\nu}$についてのクリストッフェル記号で表すことができます。

これを用いると、先の運動方程式は、

$$
\frac{d^2x’^{\sigma}(\tau)}{d\tau^2}+\Gamma’^{\sigma}_{\rho\nu}\frac{dx’^{\rho}(\tau)}{d\tau}\frac{dx’^{\nu}(\tau)}{d\tau}=0
$$

と表すことができます。
この式を測地線方程式と呼びます。

測地線方程式は、外力のかかっていない粒子が計量$g’_{\mu\nu}$の時空上で運動するときの経路を与える式です。
ここでは平坦な時空$\eta_{\mu\nu}$を想定して測地線方程式を導出しましたが、より一般の曲がった時空$g_{\mu\nu}$についてもこの式が成り立ちます。