テンソル
テンソルの定義
ベクトルを一般化したものとして、座標変換に対して次のように振る舞う量を考えます。
$$ T’^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\qquad\nu_1\cdots\nu_q}(x’)=\frac{\partial x’^{\mu_1}}{\partial x^{\rho_1}}\cdots\frac{\partial x’^{\mu_p}}{\partial x^{\rho_p}}\frac{\partial x^{\sigma_1}}{\partial x’^{\nu_1}}\cdots\frac{\partial x^{\sigma_q}}{\partial x’^{\nu_q}}T^{\rho_1\cdots\rho_p}_{\qquad\sigma_1\cdots\sigma_q}(x) $$
このように変換する量$T^{\rho_1\cdots\rho_p}_{\qquad\sigma_1\cdots\sigma_q}$のことを$(p,q)$-テンソルと呼びます。
成分の添字のうち二つを入れ替えても値が変わらないものを対称テンソル、添字のうちの二つを入れ替えると符号が変わるものを反対称テンソルと言います。
共変ベクトルと反変ベクトルの変換則
基底$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$の内積値を
$$ \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\cdot\frac{\partial}{\partial x^{\nu}} \equiv f(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}},\frac{\partial}{\partial x^{\nu}})=f_{\mu\nu} $$
と表すことにします。
この書き方を使うと、双対基底の定義式$dx^{\mu}\cdot\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$は、
$$ dx^{\mu}\cdot\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=f(dx^{\mu},\frac{\partial}{\partial x^{\nu}})=\delta^{\mu}_{\;\nu} $$
と表されます。
テンソル$f$に関する上の関係式を用いると、共変ベクトルと反変ベクトルの間の変換則を求められます。
$V^{\mu}(x)\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=V_{\mu}(x)dx^{\mu}$の両辺と別のベクトル$W=W^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}$との内積をとると、
$$ \begin{align*} &f(V^{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}},W^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}})=f(V_{\mu}dx^{\mu},W^{\nu}\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}) \\ &\Leftrightarrow V^{\mu}W^{\nu}f(\frac{\partial}{\partial x^{\mu}},\frac{\partial}{\partial x^{\nu}})=V_{\mu}W^{\nu}f(dx^{\mu},\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}) \\ &\Leftrightarrow V^{\mu}W^{\nu}f_{\mu\nu}=V_{\mu}W^{\mu} \end{align*} $$
この式が任意の$W^{\mu}$に対して成立するので、$V^{\mu}f_{\mu\nu}=V_{\nu}$となります。
ここで、$f_{\mu\nu}$の逆行列$f^{\mu\nu}$を$f^{\mu\nu}f_{\nu\rho}=\delta^{\mu}_{\;\rho}$で導入すると、$V^{\mu}=V_{\nu}f^{\nu\mu}$となります。
まとめると、共変ベクトルと反変ベクトルの変換則は、以下のようになります。
$$ \left\{ \begin{align*} V_{\nu}&=V^{\mu}f_{\mu\nu} \\ V^{\mu}&=V_{\nu}f^{\nu\mu} \end{align*} \right. $$