共変微分

共変微分の定義

物理方程式を書き下すためには物理量の微分をとる必要がありますが、物理量をテンソルとして表すときに、それを微分した量もテンソルになっていないと扱いにくいです。

まずは、ベクトルを単純に偏微分する場合を考えてみます。

$$
\begin{align*}
\frac{\partial V_{\nu}(x)}{\partial x^{\mu}}&=\frac{\partial x’^{\rho}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\rho}}(\frac{\partial x’^{\sigma}}{\partial x^{\nu}}V’_{\sigma}(x’)) \\
&=\frac{\partial x’^{\rho}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x’^{\sigma}}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial V’_{\sigma}(x’)}{\partial x’^{\rho}}+\frac{\partial x’^{\rho}}{\partial x^{\mu}}V’_{\sigma}(x’)\frac{\partial}{\partial x’^{\rho}}(\frac{\partial x’^{\sigma}}{\partial x^{\nu}})
\end{align*}
$$

余計な第二項が出てくるので、テンソルの変換則を満たさないことがわかります。

ベクトルの偏微分を単純にとると、異なる地点のベクトルの値同士の差をとることになってしまいます。

$$
\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}V_{\nu}(x)=\lim_{\Delta x^{\mu} \to 0}\frac{V_{\nu}(x+\Delta x)-V_{\nu}(x)}{\Delta x^{\mu}}
$$

異なる地点のベクトル量は座標変換に対して異なった変換をするので、それらの差である偏微分値もベクトルとして振る舞わなくなり、この分のずれが余分な項の原因です。

このずれを取り除くためには、地点$x^{\mu}$におけるベクトルを地点$x^{\mu}+\Delta x^{\mu}$まで平行移動してから計算を行えばよさそうです。

$$
\nabla_{\mu}V_{\nu}(x) \equiv \lim_{\Delta x^{\mu} \to 0}\frac{V_{\nu}(x+\Delta x)-V_{//\nu}(x+\Delta x)}{\Delta x^{\mu}}
$$

ここで、$V_{//\nu}(x+\Delta x) \equiv V_{\nu}(x)+\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}(x)V_{\rho}(x)\Delta x^{\sigma}$と表されると仮定します。
このとき、

$$
\begin{align*}
\nabla_{\mu}V_{\nu}(x)&=\lim_{\Delta x^{\mu} \to 0}\frac{V_{\nu}(x+\Delta x)-V_{\nu}(x)-\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}(x)V_{\rho}(x)\Delta x^{\mu}}{\Delta x^{\mu}} \\
&=\lim_{\Delta x^{\mu} \to 0}\frac{V_{\nu}(x+\Delta x)-V_{\nu}(x)}{\Delta x^{\mu}}-\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}(x)V_{\rho}(x) \\
&=\frac{\partial V_{\nu}(x)}{\partial x^{\mu}}-\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}(x)V_{\rho}(x)
\end{align*}
$$

となります。
共通して現れる$(x)$は冗長なので省略して、以下のように表します。

$$
\nabla_{\mu}V_{\nu}=\frac{\partial V_{\nu}}{\partial x^{\mu}}-\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}V_{\rho}
$$

このようにして定義される$\nabla_{\mu}$を共変微分、$\Gamma^{\rho}_{\nu\sigma}$をクリストッフェル記号と呼びます。

共変微分に要請される条件

共変微分$\nabla_{\mu}$と平行移動したベクトル$V^{\mu}_{//}$について、以下を満たすことが要請されます。

  • スカラー$\phi$の二階共変微分は交換する
  • スカラー$\phi$の共変微分は偏微分と一致する
  • 平行移動によってベクトルのノルムは保存する

スカラー$\phi$の二階共変微分は交換する

スカラー$\phi$について、$(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu})\phi=0$が成り立つようにします。

後でまた紹介すると思いますが、$\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu}$は時空の歪みを表す量です。
歪んだ時空でベクトルを適当に平行移動して元の場所に戻すと、元のベクトルとのずれが生じます。
このずれを表す量が$\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu}$です。

複数成分をもたない関数$\phi(x)$はベクトルと異なり、時空が歪んでいても、平行移動によって元の値からずれることはありません。
このような値をスカラーと呼びます。
スカラーを平行移動しても値がずれることはないので、前述のとおり、$(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu})\phi=0$となることが要請されます。

スカラー$\phi$の共変微分は偏微分と一致する

スカラー$\phi$の共変微分は偏微分と一致することが要請されます。

$$
\nabla_{\mu}\phi=\frac{\partial \phi}{\partial x^{\mu}}
$$

スカラーは平行移動によって値がずれることがないので、単純に偏微分を計算することができます。
したがって、スカラーを共変微分したものがスカラーを単純に偏微分したものに一致するようにするのが自然ではないでしょうか。(要検証)

平行移動によってベクトルのノルムは保存する

ベクトルを平行移動してもノルムは保存することが要請されます。

$$
g_{\mu\nu}(x+\Delta x)V^{\mu}_{//}(x+\Delta x)V^{\nu}_{//}(x+\Delta x)=g_{\mu\nu}(x)V^{\mu}(x)V^{\nu}(x)
$$

これについては、こういうふうに定めておくと色々都合がいいからこうする、という感じな気がします。(要検証)

共変微分の性質

共変微分に要請される条件より、以下の性質が導かれます。

  • クリストッフェル記号の下二つの添字は対称である
  • クリストッフェル記号$\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}$を計量$g_{\mu\nu}$で表せる
  • $\nabla_{\rho}g_{\mu\nu}=0$

クリストッフェル記号の下二つの添字は対称である

$$
\begin{align*}
(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu})\phi&=(\partial_{\mu}\partial_{\nu}-\partial_{\nu}\partial_{\mu})\phi-\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}\nabla_{\rho}\phi+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\nabla_{\rho}\phi \\
&=(-\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}+\Gamma^{\rho}_{\mu\nu})\nabla_{\rho}\phi
\end{align*}
$$

$(\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}\nabla_{\mu})\phi=0$なので、$\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\Gamma^{\rho}_{\nu\mu}$となります。

クリストッフェル記号$\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}$を計量$g_{\mu\nu}$で表せる

$$
\begin{align*}
&g_{\mu\nu}(x+\Delta x)V^{\mu}_{//}(x+\Delta x)V^{\nu}_{//}(x+\Delta x) \\
&=g_{\mu\nu}(x+\Delta x)(V^{\mu}(x)+\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}(x)V^{\alpha}(x)\Delta x^{\beta})(V^{\nu}(x)+\Gamma^{\nu}_{\gamma\delta}(x)V^{\gamma}(x)\Delta x^{\delta}) \\
&=(g_{\mu\nu}(x)+\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)\Delta x^{\rho})(V^{\mu}(x)+\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}(x)V^{\alpha}(x)\Delta x^{\beta})(V^{\nu}(x)+\Gamma^{\nu}_{\gamma\delta}(x)V^{\gamma}(x)\Delta x^{\delta}) \\
&=(g_{\mu\nu}(x)+\partial_{\rho}g_{\mu\nu}(x)\Delta x^{\rho})V^{\mu}(x)V^{\nu}(x) \\
&\qquad+g_{\mu\nu}(x)V^{\mu}(x)\Gamma^{\nu}_{\gamma\delta}V^{\gamma}(x)\Delta x^{\delta}+g_{\mu\nu}(x)V^{\nu}(x)\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}V^{\alpha}(x)\Delta x^{\beta}+\mathcal{O}(\Delta x^2)
\end{align*}
$$

これが$g_{\mu\nu}(x)V^{\mu}(x)V^{\nu}(x)$に等しいので、$\Delta x^{\mu}$について一次の部分を取り出すと、

$$
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-g_{\mu\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}-g_{\nu\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}=0
$$

となっている必要があります。

ここで、$\Gamma_{\rho,\mu\nu} \equiv g_{\rho\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu}$と定義します。
先の式の添字を$\mu,\nu,\rho$について巡回置換すると、以下の三つの式が得られます。

$$
\left\{
\begin{align*}
\partial_{\rho}g_{\mu\nu}&=\Gamma_{\mu,\nu\rho}+\Gamma_{\nu,\mu\rho} \\ \partial_{\mu}g_{\nu\rho}&=\Gamma_{\nu,\rho\mu}+\Gamma_{\rho,\nu\mu} \\ \partial_{\nu}g_{\rho\mu}&=\Gamma_{\rho,\mu\nu}+\Gamma_{\mu,\rho\nu}
\end{align*}
\right.
$$

$\partial_{\rho}g_{\mu\nu}+\partial_{\mu}g_{\nu\rho}-\partial_{\nu}g_{\rho\mu}=2\Gamma_{\nu,\mu\rho}$より、

$$
\Gamma_{\nu,\mu\rho}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}g_{\nu\rho}+\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\partial_{\nu}g_{\mu\rho})
$$

$\Gamma_{\nu,\mu\rho}=g_{\nu\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}$なので、

$$
g_{\nu\sigma}\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}=\frac{1}{2}(\partial_{\mu}g_{\nu\rho}+\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\partial_{\nu}g_{\mu\rho})
$$

$g_{\nu\sigma}$の逆行列$g^{\sigma\nu}$を左側からかけて、

$$
\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}=\frac{1}{2}g^{\sigma\nu}(\partial_{\mu}g_{\nu\rho}+\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\partial_{\nu}g_{\mu\rho})
$$

相対性理論概説の記載に合わせて添字を変更しておきます。

$$
\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}g_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}g_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu})
$$

$\nabla_{\rho}g_{\mu\nu}=0$

まず、共変微分の定義を(0,2)-テンソルに拡張します。
二つのベクトル$V_{\mu}$と$W_{\mu}$を考えると、これらの積は(0,2)-テンソルになるので、$\nabla_{\rho}V_{\mu}W_{\nu}$を計算してみることにします。

$$
\begin{align*}
\nabla_{\rho}V_{\mu}W_{\nu}&=V_{\mu}(\nabla_{\rho}W_{\nu})+(\nabla_{\rho}V_{\mu})W_{\nu} \\
&=V_{\mu}(\frac{\partial W_{\nu}}{\partial x^{\rho}}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}W_{\sigma})+(\frac{\partial V_{\mu}}{\partial x^{\rho}}-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}V_{\sigma})W_{\nu} \\
&=V_{\mu}\frac{\partial W_{\nu}}{\partial x^{\rho}}+\frac{\partial V_{\mu}}{\partial x^{\rho}}W_{\nu}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}V_{\mu}W_{\sigma}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}V{\sigma}W_{\nu} \\
&=\frac{\partial (V_{\mu}W_{\nu})}{\partial x^{\rho}}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}V_{\mu}W_{\sigma}-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}V_{\sigma}W_{\nu}
\end{align*}
$$

より、テンソル$T_{\mu\nu}$の共変微分は、

$$
\nabla_{\rho}T_{\mu\nu}=\frac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x^{\rho}}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}T_{\mu\sigma}-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}T_{\sigma\nu}
$$

となります。

計量$g_{\mu\nu}$の共変微分を計算してみます。

$$
\nabla_{\rho}g_{\mu\nu}=\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}g_{\mu\sigma}-\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}g_{\sigma\nu}
$$

この式に

$$
\left\{
\begin{align*}
\Gamma^{\sigma}_{\nu\rho}&=\frac{1}{2}g^{\sigma\alpha}(\partial_{\nu}g_{\rho\alpha}+\partial_{\rho}g_{\nu\alpha}-\partial_{\alpha}g_{\nu\rho}) \\
\Gamma^{\sigma}_{\mu\rho}&=\frac{1}{2}g^{\sigma\beta}(\partial_{\mu}g_{\rho\beta}+\partial_{\rho}g_{\mu\beta}-\partial_{\beta}g_{\mu\rho}) \\
\end{align*}
\right.
$$

を代入して、

$$
\begin{align*}
\nabla_{\rho}g_{\mu\nu}&=\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\sigma\alpha}(\partial_{\nu}g_{\rho\alpha}+\partial_{\rho}g_{\nu\alpha}-\partial_{\alpha}g_{\nu\rho})g_{\mu\sigma}-\frac{1}{2}g^{\sigma\beta}(\partial_{\mu}g_{\rho\beta}+\partial_{\rho}g_{\mu\beta}-\partial_{\beta}g_{\mu\rho})g_{\sigma\nu} \\
&=\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\delta^{\alpha}_{\;\mu}(\partial_{\nu}g_{\rho\alpha}+\partial_{\rho}g_{\nu\alpha}-\partial_{\alpha}g_{\nu\rho})-\frac{1}{2}\delta^{\beta}_{\;\nu}(\partial_{\mu}g_{\rho\beta}+\partial_{\rho}g_{\mu\beta}-\partial_{\beta}g_{\mu\rho}) \\
&=\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\frac{1}{2}(\partial_{\nu}g_{\rho\mu}+\partial_{\rho}g_{\nu\mu}-\partial_{\mu}g_{\nu\rho})-\frac{1}{2}(\partial_{\mu}g_{\rho\nu}+\partial_{\rho}g_{\mu\nu}-\partial_{\nu}g_{\mu\rho}) \\
&=0
\end{align*}
$$

したがって、$\nabla_{\rho}g_{\mu\nu}=0$となります。