ミンコフスキー計量

2022年12月29日2024年4月27日

4次元時空の座標を$x^{\mu }=(x^0,x^1,x^2,x^3)$、光速度を$c$と表すことにします。
ところで、管理人の記憶では、定数はイタリック体にしないと習った気がしますが、入力するのが面倒なので、定数もイタリック体で表記してしまいます。

$x_1^{\mu }=(c{t}_1,x_1,y_1,z_1)$と$x_2^{\mu }=(c{t}_2,x_2,y_2,z_2)$の間の微小距離$d{x}^{\mu }$を$d{x}^{\mu }\equiv x_2^{\mu }-x_1^{\mu }$と定義します。
ここで、以下の式で表される量$ds$を$x_1^{\mu }$と$x_2^{\mu }$の世界間隔(world interval)と呼びます。

$$d{s}^2=-(cdt{)}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

式の中に下付きの添字と上付きの添字が両方現れた場合には和をとります。
つまり、

$${\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =0}^3{\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

を意味します。
このような記法をアインシュタインの縮約記法(Einstein summation notation)と言います。

また、行列${\eta }_{\mu \nu }$

$${\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1\end{array}\right)$$

をミンコフスキー計量(Minkowski metric)と呼びます。
行列表示が空白になっている部分は0です。

資料によっては、

$$\begin{array}{c}d{s}^2=(cdt{)}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2={\eta }_{\mu \nu }d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }\\ {\eta }_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\end{array}\right)\end{array}$$

と定義しているものもあります。
$d{s}^2=-(cdt{)}^2+d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$の符号づけを空間的規約、$d{s}^2=(cdt{)}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2$の符号づけを時間的規約と呼んで区別することもあります。
以降、特にことわりがない限り、前者の空間的規約を採用します。