反変ベクトルと共変ベクトル
二つの基底$e^{\mu},e_{\mu}$について$\eta_{\mu\nu}e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$が成り立つとき、$e^{\mu}$を$e_{\mu}$の双対基底(dual basis)と言います。
正規直交基底の場合の双対基底は簡単に求められて、$(e^0,e^1,e^2,e^3)=(-e_0,e_1,e_2,e_3)$となります。
$$ \begin{gather*} \eta_{\mu\nu}= \begin{pmatrix} -1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix} \\ e_0= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ e_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ e_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ e_3= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{gather*} $$
に対して$\eta_{\mu\nu}e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$となる$e^{\mu}$を求めるだけです。
座標変換$x’^{\mu}=x’^{\mu}(x^{\nu})$に対して、座標基底ベクトル$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$とそれに対して$dx^{\mu}\cdot\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$を満たす双対基底$dx^{\mu}$は、
$$ \left\{ \begin{align*} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}&=\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\nu}} \\ dx^{\mu}&=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}dx’^{\nu} \end{align*} \right. $$
と表せます。
実際に、
$$ \begin{align*} dx^{\mu}\cdot \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}&=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}dx’^{\nu}\cdot \frac{\partial x’^{\rho}}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\rho}} \\ &=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\cdot\frac{dx’^{\nu}}{\partial x’^{\nu}} \\ &=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \\ &=\delta^{\mu}_{\;\nu} \end{align*} $$
となります。
あるベクトル$V$をこれらの基底を用いて表すと、
$$ V=V^{\mu}(x)\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=V_{\mu}(x)dx^{\mu} $$
より、
$$ V=V^{\mu}(x)\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\nu}}=V_{\mu}(x)\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}dx’^{\nu} $$
一方、同じものを新座標$x’^{\mu}$の基底で表すと、
$$ V=V’^{\mu}(x’)\frac{\partial}{\partial x’^{\mu}}=V’_{\mu}(x’)dx’^{\mu} $$
これらを比較することで、ベクトルの成分$V^{\mu},V_{\mu}$の変換則は、
$$ \left\{ \begin{align*} V’^{\mu}(x’)&=\frac{\partial x’^{\mu}}{\partial x^{\nu}}V^{\nu}(x) \\ V’_{\mu}(x’)&=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x’^{\mu}}V_{\nu}(x) \end{align*} \right. $$
このように変換する$V^{\mu}$を反変ベクトル(contravariant vector)、$V_{\mu}$を共変ベクトル(covariant vector)と呼びます。