反変ベクトルと共変ベクトル

二つの基底$e^{\mu},e_{\mu}$について$\eta_{\mu\nu}e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$が成り立つとき、$e^{\mu}$を$e_{\mu}$の双対基底と言います。
正規直交基底の場合の双対基底は簡単に求められて、$(e^0,e^1,e^2,e^3)=(-e_0,e_1,e_2,e_3)$となります。

$$
\begin{gather*}
\eta_{\mu\nu}=
\begin{pmatrix}
-1 & & & \\
& 1 & & \\
& & 1 & \\
& & & 1
\end{pmatrix} \\
e_0=
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
e_1=
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
e_2=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
e_3=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{gather*}
$$

に対して$\eta_{\mu\nu}e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$となる$e^{\mu}$を求めるだけです。

座標変換$x’^{\mu}=x’^{\mu}(x^{\nu})$に対して、座標基底ベクトル$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$とそれに対して$dx^{\mu}\cdot\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$を満たす双対基底$dx^{\mu}$は、

$$
\left\{
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}&=\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\nu}} \\
dx^{\mu}&=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}dx’^{\nu}
\end{align*}
\right.
$$

と表せます。

実際に、

$$
\begin{align*}
dx^{\mu}\cdot \frac{\partial}{\partial x^{\nu}}&=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}dx’^{\nu}\cdot \frac{\partial x’^{\rho}}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\rho}} \\
&=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}}\cdot\frac{dx’^{\nu}}{\partial x’^{\nu}} \\
&=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \\
&=\delta^{\mu}_{\;\nu}
\end{align*}
$$

となります。

あるベクトル$V$をこれらの基底を用いて表すと、

$$
V=V^{\mu}(x)\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=V_{\mu}(x)dx^{\mu}
$$

より、

$$
V=V^{\mu}(x)\frac{\partial x’^{\nu}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial}{\partial x’^{\nu}}=V_{\mu}(x)\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x’^{\nu}}dx’^{\nu}
$$

一方、同じものを新座標$x’^{\mu}$の基底で表すと、

$$
V=V’^{\mu}(x’)\frac{\partial}{\partial x’^{\mu}}=V’_{\mu}(x’)dx’^{\mu}
$$

これらを比較することで、ベクトルの成分$V^{\mu},V_{\mu}$の変換則は、

$$
\left\{
\begin{align*}
V’^{\mu}(x’)&=\frac{\partial x’^{\mu}}{\partial x^{\nu}}V^{\nu}(x) \\
V’_{\mu}(x’)&=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x’^{\mu}}V_{\nu}(x)
\end{align*}
\right.
$$

このように変換する$V^{\mu}$を反変ベクトル、$V_{\mu}$を共変ベクトルと呼びます。