相対性理論

シュワルツシルト解の特異点

前回紹介したとおり、シュワルツシルト解は以下のようなものです。

$$
ds^2=-(1-\frac{r_s}{r})dt^2+\frac{dr^2}{1-\frac{r_s}{r}}+r^ ...

前回は線形化アインシュタイン方程式の右辺が0の場合について紹介しました。
今回は原点に静止している質点を想定してこの方程式を解いてみたいと思います。

方程式を解くにあたって、以下の条件を前提とします。

前回紹介した線形化アインシュタイン方程式の右辺が0の場合について考えます。

$$
\Box\psi_{\mu\nu}=0
$$

$\Box\psi_{\mu\nu}=(-\partial_t^2 ...

重力場が弱い場合には計量$g_{\mu\nu}$を平坦計量$\eta_{\mu\nu}$で近似できるので、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$と表すことにします。

クリストッフェル記号 ...

導入

ニュートン力学では物質密度$\rho$が重力ポテンシャル$\phi$を作ると考えます。
重力ポテンシャル$\phi$は以下の式で表されます。

$$
\delta^{ij}\frac{\partial^2 ...

アインシュタイン方程式に出てくる係数$\kappa$を具体的に求めることを考えます。
このとき、係数$\kappa$によってニュートン力学における重力ポテンシャル$\phi$が正しく記述されるようにしたいです。

ニ ...

アインシュタイン方程式は

$$
R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R=\kappa T^{\mu\nu}
$$

と表されることを前回紹介しました。

リッ ...

特殊相対性理論において、質量とエネルギーが等価であることが示されたので、重力の源はエネルギー密度であると言い換えることができます。
エネルギー密度は単独ではテンソルではないので、運動量密度と合わせたエネルギー・運動量テンソル$ ...

定義

特殊相対性理論の記事で紹介したように、質量$m$の質点がもつエネルギーは$E=\gamma mc^2$、運動量は$p^i=\gamma mv^i$と表されます。

ここで、質点ではなく、質量が連続した密度分布をもつと考え ...

定義

リーマンテンソルについて、以下の式が成立します。

$$
\nabla_{\alpha}R_{\beta\gamma\mu\nu}+\nabla_{\beta}R_{\gamma\alpha\mu\nu}+\na ...