変形されたアインシュタイン方程式
アインシュタイン方程式は
$$ R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R=\kappa T^{\mu\nu} $$
と表されることを前回紹介しました。
リッチスカラー$R$の計算は複雑なので、どうにかしてそれを計算せずに済む方法はないでしょうか。
実は、アインシュタイン方程式を式変形することで、$R$を式からなくすことができます。
アインシュタイン方程式の両辺に$g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}$をかけます。
$$ \begin{align*} &g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}g^{\mu\nu}R=\kappa g_{\mu\sigma}g_{\nu\tau}T^{\mu\nu} \\ &\Leftrightarrow R_{\sigma\tau}-\frac{1}{2}g_{\sigma\tau}R=\kappa T_{\sigma\tau} \end{align*} $$
さらに$g^{\sigma\tau}$をかけます。
\begin{align*} &g^{\sigma\tau}R_{\sigma\tau}-\frac{1}{2}g^{\sigma\tau}g_{\sigma\tau}R=\kappa g^{\sigma\tau}T_{\sigma\tau} \\ &\Leftrightarrow R^{\sigma}_{\;\sigma}-\frac{1}{2}\delta^{\sigma}_{\;\sigma}R=\kappa T^{\sigma}_{\;\sigma} \\ &\Leftrightarrow R-\frac{1}{2}\cdot 4R=\kappa T \\ &\Leftrightarrow R=-\kappa T \end{align*}
これを最初の式に代入して整理すれば、
$$ R^{\mu\nu}=\kappa(T^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}T) $$
となります。
複雑な$R$を計算する必要がなくなり、代わりに$T=g_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$を計算すればよいことになります。