ベルヌーイ数
概要
以下のように定義される$B_n$をベルヌーイ数(Bernoulli number)と呼びます。
$\frac{x}{e^x-1}$をマクローリン展開したときの係数です。
$$
\frac{x}{e^x-1}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n
$$
マクローリン展開からベルヌーイ数を計算する
$\frac{x}{e^x-1}$をマクローリン展開することで、$B_n$の値を直接計算してみます。
$e^x-1$をマクローリン展開すると
$$
e^x-1=x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots
$$
なので、
$$
\begin{align}
\frac{x}{e^x-1}&=\frac{x}{x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+\cdots} \\
&=\frac{1}{1+\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}x^2+\cdots} \\
&=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}x^2+\cdots\right)}
\end{align}
$$
$\frac{1}{1+x}$をマクローリン展開すると
$$
\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+\cdots
$$
なので、
$$
\begin{align}
\frac{x}{e^x-1}&=1-\left(\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}x^2+\cdots\right)+\left(\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}x^2+\cdots\right)^2-\cdots \\
&=1-\frac{1}{2!}x+\left(-\frac{1}{3!}+\left(\frac{1}{2!}\right)^2\right)x^2+\cdots \\
&=1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{12}x^2+\cdots
\end{align}
$$
元の定義式と比較すると、
$$
\begin{align}
&B_0=1 \\
&B_1=-\frac{1}{2} \\
&B_2=\frac{1}{6}
\end{align}
$$
漸化式
以下の漸化式が成り立ちます。
マクローリン展開からベルヌーイ数を計算するよりもこちらの漸化式を用いる方が簡単だと思います。
$$
B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n+1}C_kB_k
$$
証明
$$
\begin{align}
1&=\frac{x}{e^x-1}\cdot\frac{e^x-1}{x} \\
&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n}{n!}x^n\right)\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}x^{n-1}\right) \\
&=\left(B_0+\frac{B_1}{1!}x+\frac{B_2}{2!}x^2+\frac{B_3}{3!}x^3+\cdots\right)\left(\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}x^2+\frac{1}{4!}x^3+\cdots\right) \\
&=\frac{B_0}{1!}+\left(\frac{B_0}{2!}+\frac{B_1}{1!1!}\right)x+\left(\frac{B_0}{3!}+\frac{B_1}{1!2!}+\frac{B_2}{2!1!}\right)x^2 \\
&\qquad+\left(\frac{B_0}{4!}+\frac{B_1}{1!3!}+\frac{B_2}{2!2!}+\frac{B_3}{3!1!}\right)x^3+\cdots \\
&=\sum_{k=0}^{0}\frac{B_k}{\left(1-k\right)!k!}+\left(\sum_{k=0}^{1}\frac{B_k}{\left(2-k\right)!k!}\right)x \\
&\qquad+\left(\sum_{k=0}^{2}\frac{B_k}{\left(3-k\right)!k!}\right)x^2+\left(\sum_{k=0}^{3}\frac{B_k}{\left(4-k\right)!k!}\right)x^3+\cdots \\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{\left(n+1-k\right)!k!}\right)x^n
\end{align}
$$
$$
{}_{n+1}C_k=\frac{\left(n+1\right)!}{k!\left(n+1-k\right)!}
$$
なので、
$$
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{B_k}{\left(n+1-k\right)!k!}\right)x^n=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(n+1\right)!}{}_{n+1}C_kB_k\right)x^n
$$
$n\ge1$について$x^n$の項は現れないので、
$$
\sum_{k=0}^n\frac{1}{\left(n+1\right)!}{}_{n+1}C_kB_k=0
$$
より、
$$
\sum_{k=0}^{n}{}_{n+1}C_kB_k=0
$$
式を整理すると、
$$
\begin{align}
\sum_{k=0}^{n}{}_{n+1}C_kB_k&=\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n+1}C_kB_k+{}_{n+1}C_nB_n=0 \\
{}_{n+1}C_nB_n&=-\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n+1}C_kB_k
\end{align}
$$
なので、
$$
B_n=-\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}{}_{n+1}C_kB_k
$$
$n$を3以上の奇数とすると$B_n=0$
$n\ge3$の奇数とすると、$B_n=0$となります。
証明
$\frac{x}{e^x-1}$をマクローリン展開したときに現れる奇数次の項は1次の$-\frac{1}{2}x$だけであることを示す。
つまり、$\frac{x}{e^x-1}+\frac{1}{2}x$が偶関数になっていればいい。
$$
\begin{align}
\frac{-x}{e^{-x}-1}-\frac{1}{2}x&=\frac{x}{1-e^{-x}}-\frac{1}{2}x \\
&=\frac{2-\left(1-e^{-x}\right)}{2\left(1-e^{-x}\right)}x \\
&=\frac{1+e^{-x}}{2\left(1-e^{-x}\right)}x \\
&=\frac{e^x+1}{2\left(e^x-1\right)}x \\
&=\frac{x}{e^x-1}+\frac{1}{2}x
\end{align}
$$
したがって、$\frac{x}{e^x-1}+\frac{1}{2}x$は偶関数である。