ビアンキ恒等式

定義

リーマンテンソルについて、以下の式が成立します。

$$
\nabla_{\alpha}R_{\beta\gamma\mu\nu}+\nabla_{\beta}R_{\gamma\alpha\mu\nu}+\nabla_{\gamma}R_{\alpha\beta\mu\nu}=0
$$

この式をビアンキ恒等式と呼びます。

ビアンキ恒等式が成立する証明については、個人的にあまり気にならなかったので省略します。
気になる方は各自で調べてみてください。

縮約されたビアンキ恒等式

ビアンキ恒等式の両辺に$g^{\gamma\nu}$をかけます。

$$
g^{\gamma\nu}\nabla_{\alpha}R_{\beta\gamma\mu\nu}+g^{\gamma\nu}\nabla_{\beta}R_{\gamma\alpha\mu\nu}+g^{\gamma\nu}\nabla_{\gamma}R_{\alpha\beta\mu\nu}=0
$$

より、

$$
\nabla_{\alpha}(g^{\gamma\nu}R_{\beta\gamma\mu\nu})+\nabla_{\beta}(g^{\gamma\nu}R_{\gamma\alpha\mu\nu})+\nabla_{\gamma}(g^{\gamma\nu}R_{\alpha\beta\mu\nu})=0
$$

ここで、

$$
\left\{
\begin{align*}
&g^{\gamma\nu}R_{\beta\gamma\mu\nu}=R_{\beta\mu} \\ &g^{\gamma\nu}R_{\gamma\alpha\mu\nu}=-g^{\gamma\nu}R_{\alpha\gamma\mu\nu}=-R_{\alpha\mu} \\
&g^{\gamma\nu}R_{\alpha\beta\mu\nu}=-g^{\gamma\nu}R_{\nu\alpha\mu\beta}=-R_{\alpha\mu\beta}^{\quad\gamma}
\end{align*}
\right.
$$

より、

$$
\nabla_{\alpha}R_{\beta\mu}-\nabla_{\beta}R_{\alpha\mu}-\nabla_{\gamma}R_{\alpha\mu\beta}^{\quad\gamma}=0
$$

となります。

この式の両辺に$g^{\beta\mu}$をかけます。

$$
\nabla_{\alpha}(g^{\beta\mu}R_{\beta\mu})-\nabla_{\beta}(g^{\beta\mu}R_{\alpha\mu})-\nabla_{\gamma}(g^{\beta\mu}R_{\alpha\mu\beta}^{\quad\gamma})=0
$$

ここで、

$$
\left\{
\begin{align*}
&g^{\beta\mu}R_{\beta\mu}=R \\
&g^{\beta\mu}R_{\alpha\mu}=R^{\beta}_{\;\alpha} \\ &g^{\beta\mu}R_{\alpha\mu\beta}^{\quad\gamma}=R^{\gamma}_{\;\alpha}
\end{align*}
\right.
$$

より、

$$
\nabla_{\alpha}R-\nabla_{\beta}R^{\beta}_{\;\alpha}-\nabla_{\gamma}R^{\gamma}_{\;\alpha}=0
$$

なので、

$$
\nabla_{\alpha}R-2\nabla_{\beta}R^{\beta}_{\;\alpha}=0
$$

となります。

$\nabla_{\alpha}R=\nabla_{\beta}(\delta^{\beta}_{\;\alpha}R)$とすれば、

$$
\begin{align*}
&\nabla_{\alpha}R-2\nabla_{\beta}R^{\beta}_{\;\alpha}=0 \\
&\Leftrightarrow \nabla_{\beta}(\delta^{\beta}_{\;\alpha}R)-2\nabla_{\beta}R^{\beta}_{\;\alpha}=0 \\
&\Leftrightarrow \nabla_{\beta}(\delta^{\beta}_{\;\alpha}R-2R^{\beta}_{\;\alpha})=0 \\
&\Leftrightarrow \nabla_{\beta}(R^{\beta}_{\;\alpha}-\frac{1}{2}\delta^{\beta}_{\;\alpha}R)=0
\end{align*}
$$

この式の両辺に$g^{\alpha\gamma}$をかけて、

$$
\begin{align*}
&\nabla_{\beta}(g^{\alpha\gamma}R^{\beta}_{\;\alpha}-\frac{1}{2}g^{\alpha\gamma}\delta^{\beta}_{\;\alpha}R)=0 \\
&\Leftrightarrow \nabla_{\beta}(R^{\gamma\beta}-\frac{1}{2}Rg^{\gamma\beta})=0
\end{align*}
$$

添字を相対性理論概説に合わせると、

$$
\nabla^{\mu}(R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu})=0
$$

となります。

ここで、$G_{\mu\nu} \equiv R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$をアインシュタインテンソルと呼び、アインシュタインテンソル$G_{\mu\nu}$を用いて表されたビアンキ恒等式$\nabla^{\mu}G_{\mu\nu}=0$を縮約されたビアンキ恒等式と呼びます。