粒子の分裂
静止質量$M$の粒子が質量$m_1$と$m_2$の二つの粒子に分裂する過程を考えます。
ここで、$u^2$を以下のように定義します。
$$ \begin{align*} u^2 &\equiv \eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu} \\ &=-(\frac{dct(\tau)}{d\tau})^2+(\frac{dx(\tau)}{d\tau})^2+(\frac{dy(\tau)}{d\tau})^2+(\frac{dz(\tau)}{d\tau})^2 \\ &=(\frac{ds}{d\tau})^2 \\ &=-c^2 \end{align*} $$
4元運動量$p^{\mu}=(\gamma mc,\gamma mv^i) \equiv (\frac{E}{c},p^i)$について、
$$ \begin{align*} p^2 &\equiv \eta_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu} \\ &=\eta_{\mu\nu}(mu^{\mu})(mu^{\nu})=m^2\eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu} \\ &=m^2u^2 \\ &=-m^2c^2 \end{align*} $$
より、
$$ p^2=\eta_{\mu\nu}p^{\mu}p^{\nu}=-\frac{E^2}{c^2}+\delta_{ij}p^ip^j=-m^2c^2 $$
したがって、
$$ E^2=(mc^2)^2+(cp^i)^2 $$
各粒子の4元運動量をそれぞれ$p_M^{\mu}$、$p_1^{\mu}$、$p_2^{\mu}$とするとき、4元運動量の保存則より、$p_M^{\mu}=p_1^{\mu}+p_2^{\mu}$となる。
この式と、初期状態では粒子が静止していることを仮定すると、
$$ \begin{gather*} p_M^{\mu}= \begin{pmatrix} Mc \\ 0 \end{pmatrix} \\ p_1^{\mu}= \begin{pmatrix} \frac{E_1}{c} \\ p^i \end{pmatrix} \\ p_2^{\mu}= \begin{pmatrix} \frac{E_2}{c} \\ -p^i \end{pmatrix} \\ Mc^2=E_1+E_2 \end{gather*} $$
粒子1、2について関係式$E^2=(mc^2)^2+(cp^i)^2$を立ててみると、
$$ \left\{ \begin{align*} E_1^{\;2}&=(m_1c^2)^2+(cp^i)^2 \\ E_2^{\;2}&=(m_2c^2)^2+(-cp^i)^2 \end{align*} \right. $$
より、
$$ \begin{align*} (Mc^2)^2&=(E_1+E_2)^2 \\ &=E_1^{\;2}+E_2^{\;2}+2E_1E_2 \\ &=(m_1c^2)^2+(m_2c^2)^2+2(cp^i)^2 \\ &\qquad+2\sqrt{(m_1c^2)^2+(cp^i)^2}\sqrt{(m_2c^2)^2+(-cp^i)^2} \\ &=(m_1c^2+m_2c^2)^2+\frac{(m_1+m_2)^2}{m_1m_2}(cp^i)^2+\mathcal{O}((cp^i)^4) \end{align*} $$
3行目から4行目への式変換には$(cp^i)^2$についてのマクローリン展開を用いました。
この式からわかるとおり、元の粒子の静止質量エネルギー$Mc^2$に比べて崩壊後の粒子の静止質量エネルギー$m_1c^2,m_2c^2$の和は小さくなっており、その差分については生成される粒子が$p^i$に比例する速度をもつことになります。