固有時間

ある粒子が運動する経路のことを世界線と呼びます。

今、世界線を$x^{\mu}=x^{\mu}(\tau)=(ct(\tau),x(\tau),y(\tau),z(\tau))$と指定します。
この粒子が静止して見える慣性系$x’^{\mu}=(c\tau,x’,y’,z’)$に移ってこの運動を観察すると、粒子が一点に静止して見えるので、$ds’^2=-(cd\tau)^2+dx’^2+dy’^2+dz’^2=-(cd\tau)^2$より、$cd\tau=\sqrt{-ds’^2}$となります。
このようにして計られる時間$\tau$のことをその粒子の固有時間と呼びます。
固有時間が最も長くなるのは$-ds’^2$が最も大きくなる場合、すなわち、粒子が慣性運動していて$dx’,dy’,dz’=0$とできる場合であることがわかります。

静止系でこの粒子を見たときに$v^i=\frac{dx^i}{dt} (i=1,2,3)$で運動しているとします。
このとき、

$$
\begin{align*}
-(cd\tau)^2&=ds’^2 \\
&=ds^2 \\
&=-(cdt)^2+dx^2+dy^2+dz^2 \\
&=-(cdt)^2(1-\delta_{ij}\frac{v^iv^j}{c^2})
\end{align*}
$$

したがって、

$$
d\tau=dt\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{dt}{\gamma}
$$

$\gamma \geq 1$なので、固有時間は静止系で計った時間よりも短くなることがわかります。