線形化アインシュタイン方程式

重力場が弱い場合には計量$g_{\mu\nu}$を平坦計量$\eta_{\mu\nu}$で近似できるので、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$と表すことにします。

クリストッフェル記号を$h_{\mu\nu}$の1次の項まで展開します。
アインシュタイン方程式の係数を求めたときに同じ計算をしたので、詳細は省略します。

$$
\begin{align*}
\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}g_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}g_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}) \\
&\approx\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}h_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}h_{\mu\nu})
\end{align*}
$$

これをもとにリッチテンソル$R_{\mu\nu}$を展開します。

$$
R_{\mu\nu}=g^{\rho\sigma}R_{\mu\rho\nu\sigma}=g^{\sigma\rho}R_{\mu\rho\nu}^{\quad\sigma’}g_{\sigma’\sigma}=R_{\mu\rho\nu}^{\quad\rho}
$$

なので、

$$
\begin{align*}
R_{\mu\nu}&=R_{\mu\rho\nu}^{\quad\rho} \\
&\approx \partial_{\rho}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\rho\nu} \\
&=\partial_{\rho}(\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}h_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}h_{\mu\nu}))-\partial_{\mu}(\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\rho}h_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}h_{\rho\sigma}-\partial_{\sigma}h_{\rho\nu})) \\
&=\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\rho}\partial_{\mu}h_{\nu\sigma}+\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\rho}\partial_{\sigma}h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\rho}h_{\nu\sigma}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h_{\rho\sigma}+\partial_{\mu}\partial_{\sigma}h_{\rho\nu}) \\
&=\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\rho}\partial_{\sigma}h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h_{\rho\sigma}+\partial_{\mu}\partial_{\sigma}h_{\rho\nu}) \\
&=\frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu})
\end{align*}
$$

ここで登場した$\partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\alpha\beta}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}h_{\alpha\beta}$、$h=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$です。
また、$\Box \equiv \eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=-\partial_{t}^2+\partial_i\partial^i$をダランベール演算子と呼びます。

リッチスカラー$R$は、

$$
\begin{align*}
R&=\eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \\
&=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu})
\end{align*}
$$

$\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}=\eta^{\rho\nu}\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\rho}$なので、

$$
\begin{align*} \eta^{\mu\nu}\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}&=\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\nu}\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\rho} \\
&=\delta^{\mu\rho}\partial_{\rho}\partial_{\mu}h_{\mu\rho} \\
&=\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}
\end{align*}
$$

同様に、$\eta^{\mu\nu}\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}=\partial^{\nu}\partial_{\rho}h_{\nu\rho}$となります。

したがって、

$$
\begin{align*}
R&=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(\partial^{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu\nu}h+\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\rho\nu}) \\
&=\frac{1}{2}(\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}-\Box h-\Box h+\partial^{\nu}\partial_{\rho}h_{\nu\rho}) \\
&=\frac{1}{2}(2\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}-2\Box h) \\
&=\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}-\Box h
\end{align*}
$$

後の計算のために添字を$\alpha,\beta$にしておきます。

$$
R=\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta}-\Box h
$$

これより、アインシュタインテンソル$G_{\mu\nu}$は、

$$
\begin{align*}
G_{\mu\nu}&=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} \\
&\approx \frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu})-\frac{1}{2}(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta}-\Box h)\eta_{\mu\nu} \\
&=\frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}-(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu}+(\Box h)\eta_{\mu\nu}) \end{align*}
$$

ここで、$\psi_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}$とおくと、$h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}$となります。
管理人は$h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}$となる理由がわからなくてしばらく悩んでいましたが、これは試しに$\psi$を計算してみるとわかります。

$$
\begin{align*}
\psi&=\eta^{\mu\nu}\psi_{\mu\nu} \\
&=\eta^{\mu\nu}(h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}) \\
&=h-\frac{1}{2}h\cdot 4 \\
&=-h
\end{align*}
$$

なので、

$$
\begin{align*}
h_{\mu\nu}&=\psi_{\mu\nu}+\frac{1}{2}h\eta_{\mu\nu} \\
&=\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}
\end{align*}
$$

となります。

これを用いて、アインシュタインテンソルを求めるために必要なそれぞれの項を計算してみます。

$\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}$は、

$$
\begin{align*}
\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}&=\partial^{\rho}\partial^{\nu}(\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\rho}) \\
&=\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\rho}\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi \\
&=\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi \end{align*}
$$

同様の計算で、$\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}=\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\partial^{\rho}\partial_{\rho}\psi$

$\Box h_{\mu\nu}$は、

$$
\begin{align*}
\Box h_{\mu\nu}&=\Box(\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}) \\
&=\Box \psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\Box\psi \\
&=\Box\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi
\end{align*}
$$

$(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu}$は、

$$
\begin{align*}
(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu}&=\partial^{\alpha}\partial_{\beta}(\psi_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu} \\
&=\partial^{\alpha}\partial_{\beta}\psi_{\alpha\beta}\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}\eta_{\mu\nu}\partial^{\alpha}\partial_{\beta}\psi \\
&=\partial^{\mu}\partial^{\nu}\partial_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi
\end{align*}
$$

$(\Box h)\eta_{\mu\nu}$は、

$$
\begin{align*}
(\Box h)\eta_{\mu\nu}&=(\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}h)\eta_{\mu\nu} \\
&=\partial_{\mu}\partial_{\nu}h
\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
G_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}((\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi)-(\Box\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi) \\
&\qquad-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+(\partial^{\mu}\partial^{\rho}\psi_{\rho\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\rho}\partial_{\rho}\psi)-(\partial^{\mu}\partial^{\nu}\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi)+\partial_{\mu}\partial_{\nu}h) \\
&=\frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\Box\psi_{\mu\nu}+\partial^{\mu}\partial^{\rho}\psi_{\rho\nu}-\partial^{\mu}\partial^{\nu}\psi_{\mu\nu})
\end{align*}
$$

となり、式から$h$を消すことができます。

ここで、$\partial^{\mu}\psi_{\mu\nu}=0$という制約をかけると、$G_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\Box\psi_{\mu\nu}$より、アインシュタイン方程式は、

$$
-\frac{1}{2}\Box\psi_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}
$$

となります。
これが$\psi_{\mu\nu}$について線形化されたアインシュタイン方程式です。