線形化アインシュタイン方程式
重力場が弱い場合には計量$g_{\mu\nu}$を平坦計量$\eta_{\mu\nu}$で近似できるので、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$と表すことにします。
クリストッフェル記号を$h_{\mu\nu}$の1次の項まで展開します。
アインシュタイン方程式の係数を求めたときに同じ計算をしたので、詳細は省略します。
$$ \begin{align*} \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}g^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}g_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}g_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}g_{\mu\nu}) \\ &\approx\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}h_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}h_{\mu\nu}) \end{align*} $$
これをもとにリッチテンソル$R_{\mu\nu}$を展開します。
$$ R_{\mu\nu}=g^{\rho\sigma}R_{\mu\rho\nu\sigma}=g^{\sigma\rho}R_{\mu\rho\nu}^{\quad\sigma’}g_{\sigma’\sigma}=R_{\mu\rho\nu}^{\quad\rho} $$
なので、
$$ \begin{align*} R_{\mu\nu}&=R_{\mu\rho\nu}^{\quad\rho} \\ &\approx \partial_{\rho}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu} \\ &\qquad -\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\rho\nu} \\ &=\partial_{\rho}(\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\mu}h_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\sigma}h_{\mu\nu})) \\ &\qquad -\partial_{\mu}(\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\rho}h_{\nu\sigma}+\partial_{\nu}h_{\rho\sigma}-\partial_{\sigma}h_{\rho\nu})) \\ &=\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\rho}\partial_{\mu}h_{\nu\sigma}+\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\rho}\partial_{\sigma}h_{\mu\nu} \\ &\qquad -\partial_{\mu}\partial_{\rho}h_{\nu\sigma}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h_{\rho\sigma}+\partial_{\mu}\partial_{\sigma}h_{\rho\nu}) \\ &=\frac{1}{2}\eta^{\rho\sigma}(\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\sigma}-\partial_{\rho}\partial_{\sigma}h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h_{\rho\sigma}+\partial_{\mu}\partial_{\sigma}h_{\rho\nu}) \\ &=\frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}) \end{align*} $$
ここで登場した$\partial^{\mu}\partial^{\nu}h_{\alpha\beta}=\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}h_{\alpha\beta}$、$h=\eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$です。
また、$\Box \equiv \eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=-\partial_{t}^2+\partial_i\partial^i$をダランベール演算子と呼びます。
リッチスカラー$R$は、
$$ \begin{align*} R&=\eta^{\mu\nu}R_{\mu\nu} \\ &=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}) \end{align*} $$
$\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}=\eta^{\rho\nu}\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\rho}$なので、
$$ \begin{align*} \eta^{\mu\nu}\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}&=\eta^{\mu\nu}\eta^{\rho\nu}\partial_{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\rho} \\ &=\delta^{\mu\rho}\partial_{\rho}\partial_{\mu}h_{\mu\rho} \\ &=\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho} \end{align*} $$
同様に、$\eta^{\mu\nu}\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}=\partial^{\nu}\partial_{\rho}h_{\nu\rho}$となります。
したがって、
$$ \begin{align*} R&=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}(\partial^{\rho}\partial_{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu\nu}h+\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\rho\nu}) \\ &=\frac{1}{2}(\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}-\Box h-\Box h+\partial^{\nu}\partial_{\rho}h_{\nu\rho}) \\ &=\frac{1}{2}(2\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}-2\Box h) \\ &=\partial^{\mu}\partial_{\rho}h_{\mu\rho}-\Box h \end{align*} $$
後の計算のために添字を$\alpha,\beta$にしておきます。
$$ R=\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta}-\Box h $$
これより、アインシュタインテンソル$G_{\mu\nu}$は、
$$ \begin{align*} G_{\mu\nu}&=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} \\ &\approx \frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}) \\ &\qquad -\frac{1}{2}(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta}-\Box h)\eta_{\mu\nu} \\ &=\frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}-\Box h_{\mu\nu}-\partial_{\mu}\partial_{\nu}h \\ &\qquad +\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}-(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu}+(\Box h)\eta_{\mu\nu}) \end{align*} $$
ここで、$\psi_{\mu\nu}=h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}$とおくと、$h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}$となります。
管理人は$h_{\mu\nu}=\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}$となる理由がわからなくてしばらく悩んでいましたが、これは試しに$\psi$を計算してみるとわかります。
$$ \begin{align*} \psi&=\eta^{\mu\nu}\psi_{\mu\nu} \\ &=\eta^{\mu\nu}(h_{\mu\nu}-\frac{1}{2}h\eta_{\mu\nu}) \\ &=h-\frac{1}{2}h\cdot 4 \\ &=-h \end{align*} $$
なので、
$$ \begin{align*} h_{\mu\nu}&=\psi_{\mu\nu}+\frac{1}{2}h\eta_{\mu\nu} \\ &=\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu} \end{align*} $$
となります。
これを用いて、アインシュタインテンソルを求めるために必要なそれぞれの項を計算してみます。
$\partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}$は、
$$ \begin{align*} \partial^{\rho}\partial^{\nu}h_{\mu\rho}&=\partial^{\rho}\partial^{\nu}(\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\rho}) \\ &=\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\rho}\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi \\ &=\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi \end{align*} $$
同様の計算で、$\partial^{\mu}\partial^{\rho}h_{\rho\nu}=\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\partial^{\rho}\partial_{\rho}\psi$
$\Box h_{\mu\nu}$は、
$$ \begin{align*} \Box h_{\mu\nu}&=\Box(\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\mu\nu}) \\ &=\Box \psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\Box\psi \\ &=\Box\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi \end{align*} $$
$(\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu}$は、
$$ \begin{align*} (\partial^{\alpha}\partial_{\beta}h_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu}&=\partial^{\alpha}\partial_{\beta}(\psi_{\alpha\beta}-\frac{1}{2}\psi\eta_{\alpha\beta})\eta_{\mu\nu} \\ &=\partial^{\alpha}\partial_{\beta}\psi_{\alpha\beta}\eta_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\eta_{\alpha\beta}\eta_{\mu\nu}\partial^{\alpha}\partial_{\beta}\psi \\ &=\partial^{\mu}\partial^{\nu}\partial_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi \end{align*} $$
$(\Box h)\eta_{\mu\nu}$は、
$$ \begin{align*} (\Box h)\eta_{\mu\nu}&=(\eta^{\mu\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}h)\eta_{\mu\nu} \\ &=\partial_{\mu}\partial_{\nu}h \end{align*} $$
したがって、
$$ \begin{align*} G_{\mu\nu}&=\frac{1}{2}((\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi)-(\Box\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi) \\ &\qquad -\partial_{\mu}\partial_{\nu}h+(\partial^{\mu}\partial^{\rho}\psi_{\rho\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\rho}\partial_{\rho}\psi) \\ &\qquad -(\partial^{\mu}\partial^{\nu}\psi_{\mu\nu}-\frac{1}{2}\partial^{\mu}\partial_{\mu}\psi)+\partial_{\mu}\partial_{\nu}h) \\ &=\frac{1}{2}(\partial^{\rho}\partial^{\nu}\psi_{\mu\rho}-\Box\psi_{\mu\nu}+\partial^{\mu}\partial^{\rho}\psi_{\rho\nu}-\partial^{\mu}\partial^{\nu}\psi_{\mu\nu}) \end{align*} $$
となり、式から$h$を消すことができます。
ここで、$\partial^{\mu}\psi_{\mu\nu}=0$という制約をかけると、$G_{\mu\nu}=-\frac{1}{2}\Box\psi_{\mu\nu}$より、アインシュタイン方程式は、
$$ -\frac{1}{2}\Box\psi_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu} $$
となります。
これが$\psi_{\mu\nu}$について線形化されたアインシュタイン方程式です。