円の運動方程式
概要
質量$m$の物体に力$F$が加わったときの加速度$a$について、以下の運動方程式で表されます。
$$
F=ma
$$
この記事では、円運動をする物体の場合に加速度$a$がどのような形になるか導出します。
確か、高校物理だと公式として教科書に記載されていたと思います。
管理人は学生時代、物理とか数学を真面目に勉強していなかったので、試験前に公式を丸暗記するみたいなことをしていて、当然のように成績もよくなかった記憶がうっすらとあります。
社会人になってからたまに趣味で物理を勉強するようになって、「どうしてそうなるのか」っていう部分が気になるようになりました。
(たぶん)この後の記事でボーアの原子模型について紹介するのですが、その前段として円の運動方程式の理解を深めておくといいと思いました。
本題
半径$r$の円軌道を回る質点について考えます。
このとき、質点の速度$v$は、
$$
v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{r\Delta\theta}{\Delta t}=r\frac{d\theta}{dt}
$$
となります。
ここで、角速度$\omega=\frac{d\theta}{dt}$と定義すると、$v=r\omega$です。
また、加速度$a$については、
$$
a=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}
$$
です。
ここからは$\Delta v$を求めていきます。
質点が$r\Delta\theta$の距離を移動した際に速度が$\Delta v$だけ変化したとします。
ベクトルの始点を以下のように移動させます。
管理人は$v$と$v+\Delta v$のなす角度が$\Delta\theta$になるのが初見ではわかりませんでしたが、これは丁寧に作図して角度を求めていけばわかりました。
直感的な理解としては、$\theta=0$のとき$v$と$v+\Delta v$のなす角度は0、$\theta=\frac{\pi}{2}$のときは$\frac{\pi}{2}$になるので、$v$と$v+\Delta v$のなす角度は$\theta$と同じペースで増加するであろう、というところでしょうか。
$\Delta v$を中心方向の成分$\Delta v_c$と接線方向の成分$\Delta v_t$に分解します。
$$
\left\{ \begin{aligned} \Delta v_t&=(v+\Delta v)\cos\Delta\theta-v \\ \Delta v_c&=(v+\Delta v)\sin\Delta\theta \end{aligned} \right.
$$
$\cos x$と$\sin x$をそれぞれマクローリン展開すると、
$$
\left\{ \begin{aligned} \cos x&=1-\frac{1}{2}x^2+\cdots \\ \sin x&=x-\frac{1}{6}x^3+\cdots \end{aligned} \right.
$$
$x$が微小な値のとき、2次以上の項を無視して、
$$
\left\{ \begin{aligned} \cos \Delta x&\approx 1 \\ \sin \Delta x&\approx\Delta x \end{aligned} \right.
$$
と近似できます。
加速度についても、接線方向の加速度$a_t$と中心方向の加速度$a_c$を求めていきます。
まず、接線方向の加速度$a_t$について、
$$
a_t=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v_t}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(v+\Delta v)\cos\Delta\theta-v}{\Delta t}
$$
$\Delta t\to 0$のとき$\Delta\theta\to 0$なので、$\cos\Delta\theta\approx 1$となります。
したがって、$a_t$は、
$$
\begin{aligned} a_t&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(v+\Delta v)\cos\Delta\theta-v}{\Delta t} \\ &=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} \\ &=\frac{dv}{dt} \\ &=\frac{d}{dt}\left( r\frac{d\theta}{dt} \right) \\ &=r\frac{d^2\theta}{dt^2} \end{aligned}
$$
一方、中心方向の加速度$a_c$については、
$$
\begin{aligned} a_c&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta v_c}{\Delta t} \\ &=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(v+\Delta v)\sin\Delta\theta}{\Delta t} \\ &=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(v+\Delta v)\Delta\theta}{\Delta t} \end{aligned}
$$
$\sin\Delta\theta\approx\Delta\theta$の近似は$a_t$のときと同様で、$\Delta t\to 0$のとき$\Delta\theta\to 0$になるからです。
$\Delta v\Delta\theta$は2次の微小量なので捨ててしまいます。
$$
\begin{align*} a_c&=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{(v+\Delta v)\Delta\theta}{\Delta t} \\ &=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v\Delta\theta}{\Delta t} \\ &=v\frac{d\theta}{dt} \\ &=v\omega \end{align*}
$$
円運動の運動方程式でよく出てくるのは中心方向の加速度$a_c$の方で、$v$と$\omega$を別の変数で置き換えたバージョンもよく見かけますね。
たとえば、質量$m$の質点が円運動する場合の運動方程式は、
$$
\begin{aligned} F&=ma_c \\ &=mv\omega \\ &=mv\cdot\frac{v}{r}=m\frac{v^2}{r} \\ &=mr\omega\cdot\omega=mr\omega^2 \end{aligned}
$$
となります。