クーロンの法則
クーロンの法則
$q_1$と$q_2$の電荷をもつ、距離$r$だけ離れた二つの点電荷について、両者の間に働く力の大きさ$F$は、
$$
F=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}
$$
と表されます。
ここに登場する係数$k$は
$$
k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
$$
で、$\epsilon_0$は真空の誘電率です。
クーロンポテンシャル
クーロンポテンシャルは、クーロン力によって電荷がもつ位置エネルギーです。
以前の記事(重力ポテンシャルとポアソン方程式)で、位置エネルギー$U(\boldsymbol{r})$を以下のように定義しました。
$$
U(\boldsymbol{r})=-\int_{\boldsymbol{r_0}}^\boldsymbol{r}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r’}
$$
この定義を用いて、点電荷の作るクーロンポテンシャルを計算します。
点電荷の作るポテンシャルは球対称なので、原点からの距離がわかればいいです。
このため、$r=|\boldsymbol{r}|$のようにおきます。
$\boldsymbol{r_0}$から$\boldsymbol{r}$までの線積分ですが、クーロン力は保存力なので、$\boldsymbol{r_0}$から$\boldsymbol{r}$まで直線で向かう経路をとることにします。
この場合、クーロン力$\boldsymbol{F}$と積分の方向$d\boldsymbol{r’}$は同じ向きなので、$\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r’}=Fdr’$です。
$U(r)$を計算します。
$$
\begin{align}
U(r)&=-\int_{r_0}^r Fdr’ \\
&=-\int_{r_0}^r\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{{r’}^2}dr’ \\
&=-\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\int_{r_0}^r\frac{dr’}{{r’}^2} \\
&=-\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\left[ -\frac{1}{r’} \right]_{r_0}^r \\
&=-\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\left( -\frac{1}{r}+\frac{1}{r_0} \right)
\end{align}
$$
基準点$r_0$を無限遠にとると、
$$
U(r)=\frac{q_1q_2}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}
$$
となります。