コンプトン散乱
X線などの光子が物質によって散乱されると波長が変化します。
この現象をコンプトン散乱(Compton scattering)と呼びます。
ここでは、光子が電子に衝突する場合の波長の変化を計算します。
この記事の内容は前提として特殊相対性理論の理解が必要になります。
管理人が以前投稿した記事(静止質量エネルギー)が参考になるかもしれません。
光子のエネルギーは$E=h\nu$、運動量の時間成分は$p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}$と表されます。
ここで、$h$はプランク定数、$\nu$は光子の周波数です。
計算のため、以下の変数を導入します。
| 変数 | 意味 |
|---|---|
| $E, \boldsymbol{p}$ | 入射した光子のエネルギーと運動量 |
| $E’, \boldsymbol{p’}$ | 散乱された光子のエネルギーと運動量 |
| $E_e, \boldsymbol{p_e}$ | 跳ね飛ばされた電子のエネルギーと運動量 |
それぞれの関係は以下のようになります。
$$
\left\{ \begin{aligned} &E+mc^2=E’+E_e \\ &\boldsymbol{p}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{p’}+\boldsymbol{p_e} \end{aligned} \right.
$$
${E_e}^2$と$\boldsymbol{p_e}^2$を計算します。
$$
\begin{align}
{E_e}^2&=(E-E’+mc^2)^2 \\
&=E^2+{E’}^2-2EE’+2Emc^2-2E’mc^2+(mc^2)^2 \\
&=E^2+{E’}^2-2EE’+2mc^2(E-E’)+(mc^2)^2
\end{align}
$$
$E^2=c^2p^2$、${E’}^2=c^2{p’}^2$、$EE’=cp\cdot cp’=c^2 pp’$、$E-E’=cp-cp’=c(p-p’)$なので、
$$
{E_e}^2=c^2p^2+c^2{p’}^2-2c^2pp’+2mc^3(p-p’)+m^2c^4 \tag{1}
$$
となります。
${p_e}^2$については、
$$
\begin{align} {p_e}^2&=(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p’})^2 \\ &=p^2-2\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{p’}+{p’}^2 \\ &=p^2+{p’^2}-2pp’\cos\theta \end{align}
$$
となります。
$\theta$は光子の散乱角です。
$u^\mu$を4元速度としたとき、
$$
\begin{align}
u^2&\equiv\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \\
&=-\left( \frac{dct(\tau)}{d\tau} \right)^2+\left( \frac{dx(\tau)}{d\tau} \right)^2+\left( \frac{dy(\tau)}{d\tau} \right)^2+\left( \frac{dz(\tau)}{d\tau} \right)^2 \\
&=\left( \frac{ds}{d\tau} \right)^2
\end{align}
$$
となります。
ここで、$ds^2=-(cd\tau)^2$なので、$ds=icd\tau$より、
$$
u^2=\left( \frac{ds}{d\tau} \right)^2=(ic)^2=-c^2
$$
となります。
4元運動量$p^\mu$は
$$
p^\mu=(\gamma mc,\gamma mv^i)=\left( \frac{E}{c},p^i \right)
$$
と表されます。
ここで、$\gamma$はローレンツ因子です。
$p^2$を計算すると、
$$
\begin{align}
p^2&\equiv\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu \\
&=\eta_{\mu\nu}(mu^\mu)(mu^\nu) \\
&=m^2\eta_{\mu\nu}u^\mu u^\nu \\
&=m^2u^2 \\
&=-m^2c^2 \tag{2}
\end{align}
$$
となります。
一方で、$p^\mu=\left( \frac{E}{c},p^i \right)$の方の定義を用いると、
$$
p^2=\eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu=-\left( \frac{E}{c} \right)^2+\delta_{ij}p^i p^j \tag{3}
$$
となります。
ここでの$\delta_{ij}p^i p^j$は
$$
\delta_{ij}p^i p^j=\sum_{i=1}^3\left( p^i \right)^2
$$
を表しています。
式2と式3が等しいので、
$$
-\left( \frac{E}{c} \right)^2+\delta_{ij}p^ip^j=-m^2c^2
$$
より、
$$
E^2=c^2\delta_{ij}p^ip^j+m^2c^4
$$
となります。
以上より、${E_e}^2=c^2{p_e}^2+m^2c^4$なので、式1より、
$$
\begin{align}
&c^2p^2+c^2{p’}^2-2c^2pp’+2mc^3(p-p’)+m^2c^4=c^2{p_e}^2+m^2c^4 \\
&c^2(p^2+{p’}^2-2pp’\cos\theta)=c^2p^2+c^2{p’}^2-2c^2pp’+2mc^3(p-p’) \\
&c^2p^2+c^2{p’}^2-2c^2pp’\cos\theta=c^2p^2+c^2{p’}^2-2c^2pp’+2mc^3(p-p’) \\
&2c^2pp’-2c^2pp’\cos\theta=2mc^3(p-p’) \\
&pp'(1-\cos\theta)=mc(p-p’)
\end{align}
$$
ここで、$\lambda=\frac{c}{\nu}=c\cdot\frac{h}{cp}=\frac{h}{p}$とすると、$p=\frac{h}{\lambda}$なので、
$$
\begin{align}
&\frac{h}{\lambda}\frac{h}{\lambda’}(1-\cos\theta)=mc\left( \frac{h}{\lambda}-\frac{h} {\lambda’} \right) \\
&\frac{h^2}{\lambda\lambda’}(1-\cos\theta)=mch\frac{\lambda’-\lambda}{\lambda\lambda’} \\
&h(1-\cos\theta)=mc(\lambda’-\lambda)
\end{align}
$$
したがって、波長の変化$\Delta\lambda$は、
$$
\Delta\lambda=\lambda’-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos\theta)
$$
となります。
ここに登場する係数$\frac{h}{mc}\approx 2.43\times 10^{-12} \text{m}$は電子のコンプトン波長(Compton wavelength)です。