重力場が弱い場合には計量$g_{\mu\nu}$を平坦計量$\eta_{\mu\nu}$で近似できるので、$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$と表すことにします。

クリストッフェル記号 ...

ニュートン力学では物質密度$\rho$が重力ポテンシャル$\phi$を作ると考えます。
重力ポテンシャル$\phi$は以下の式で表されます。

$$
\delta^{ij}\frac{\partial^2 ...

アインシュタイン方程式に出てくる係数$\kappa$を具体的に求めることを考えます。
このとき、係数$\kappa$によってニュートン力学における重力ポテンシャル$\phi$が正しく記述されるようにしたいです。

ニ ...

アインシュタイン方程式は

$$
R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R=\kappa T^{\mu\nu}
$$

と表されることを前回紹介しました。

リッ ...

特殊相対性理論において、質量とエネルギーが等価であることが示されたので、重力の源はエネルギー密度であると言い換えることができます。
エネルギー密度は単独ではテンソルではないので、運動量密度と合わせたエネルギー・運動量テンソル$ ...

特殊相対性理論の記事で紹介したように、質量$m$の質点がもつエネルギーは$E=\gamma mc^2$、運動量は$p^i=\gamma mv^i$と表されます。

ここで、質点ではなく、質量が連続した密度分布をもつと考え ...

リーマンテンソルについて、以下の式が成立します。

$$
\nabla_{\alpha}R_{\beta\gamma\mu\nu}+\nabla_{\beta}R_{\gamma\alpha\mu\nu}+\na ...

一般相対性理論では歪んだ時空を考えるため、時空がどれくらい歪んでいるのか表す量を構成したいと思います。
このためには、ベクトルを平行移動させたときに生じる向きのずれを考えればよさそうです。

たとえば、地球の赤道 ...

平坦な時空($ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$)で外力のかかっていない粒子の位置座標$x^{\mu}(\tau)$は、

$$
\frac{d^2x^{\mu}(\tau)}{d ...

物理方程式を書き下すためには物理量の微分をとる必要がありますが、物理量をテンソルとして表すときに、それを微分した量もテンソルになっていないと扱いにくいです。

まずは、ベクトルを単純に偏微分する場合を考えてみま ...