変形されたアインシュタイン方程式
アインシュタイン方程式は
$$
R^{\mu\nu}-\frac{1}{2}g^{\mu\nu}R=\kappa T^{\mu\nu}
$$
と表されることを前回紹介しました。
リッ ...
アインシュタイン方程式
特殊相対性理論において、質量とエネルギーが等価であることが示されたので、重力の源はエネルギー密度であると言い換えることができます。
エネルギー密度は単独ではテンソルではないので、運動量密度と合わせたエネルギー・運動量テンソル$ ...
エネルギー・運動量テンソル
特殊相対性理論の記事で紹介したように、質量$m$の質点がもつエネルギーは$E=\gamma mc^2$、運動量は$p^i=\gamma mv^i$と表されます。
ここで、質点ではなく、質量が連続した密度分布をもつと考え ...
ビアンキ恒等式
リーマンテンソルについて、以下の式が成立します。
$$
\nabla_{\alpha}R_{\beta\gamma\mu\nu}+\nabla_{\beta}R_{\gamma\alpha\mu\nu}+\na ...
リーマンテンソル
一般相対性理論では歪んだ時空を考えるため、時空がどれくらい歪んでいるのか表す量を構成したいと思います。
このためには、ベクトルを平行移動させたときに生じる向きのずれを考えればよさそうです。
たとえば、地球の赤道 ...
測地線方程式
平坦な時空($ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$)で外力のかかっていない粒子の位置座標$x^{\mu}(\tau)$は、
$$
\frac{d^2x^{\mu}(\tau)}{d ...
共変微分
物理方程式を書き下すためには物理量の微分をとる必要がありますが、物理量をテンソルとして表すときに、それを微分した量もテンソルになっていないと扱いにくいです。
まずは、ベクトルを単純に偏微分する場合を考えてみま ...
テンソル
ベクトルを一般化したものとして、座標変換に対して次のように振る舞う量を考えます。
$$
T’^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\qquad\nu_1\cdots\nu_q}(x&# ...
反変ベクトルと共変ベクトル
二つの基底$e^{\mu},e_{\mu}$について$\eta_{\mu\nu}e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$が成り立つとき、$e^{\mu}$を$e_{\mu}$の双対基底(dual bas ...
一般相対性理論の前提となる原則
特殊相対性理論では慣性系のみを扱いましたが、一般相対性理論では非慣性系も含む一般的な座標系を考えます。
一般相対性理論は以下の二つの原則に基づいて構築されます。