相対性理論

目的

一般相対性理論では歪んだ時空を考えるため、時空がどれくらい歪んでいるのか表す量を構成したいと思います。
このためには、ベクトルを平行移動させたときに生じる向きのずれを考えればよさそうです。

たとえば、地球の赤道 ...

平坦な時空($ds^2=\eta_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$)で外力のかかっていない粒子の位置座標$x^{\mu}(\tau)$は、

$$
\frac{d^2x^{\mu}(\tau)}{d ...

共変微分の定義

物理方程式を書き下すためには物理量の微分をとる必要がありますが、物理量をテンソルとして表すときに、それを微分した量もテンソルになっていないと扱いにくいです。

まずは、ベクトルを単純に偏微分する場合を考えてみま ...

テンソルの定義

ベクトルを一般化したものとして、座標変換に対して次のように振る舞う量を考えます。

$$
T’^{\mu_1\cdots\mu_p}_{\qquad\nu_1\cdots\nu_q}(x&# ...

二つの基底$e^{\mu},e_{\mu}$について$\eta_{\mu\nu}e^{\mu}e_{\nu}=\delta^{\mu}_{\;\nu}$が成り立つとき、$e^{\mu}$を$e_{\mu}$の双対基底(dual bas ...

特殊相対性理論では慣性系のみを扱いましたが、一般相対性理論では非慣性系も含む一般的な座標系を考えます。
一般相対性理論は以下の二つの原則に基づいて構築されます。

一般相対性原理(general principle

静止質量$M$の粒子が質量$m_1$と$m_2$の二つの粒子に分裂する過程を考えます。

ここで、$u^2$を以下のように定義します。

$$
\begin{align*}
u^2 &\eq ...

固有時間を使って測った速度$u^{\mu} \equiv \frac{dx^{\mu}}{d\tau}$を4元速度(four-velocity)と呼びます。

$$
u^{\mu} \equiv \frac{dx^{ ...

静止系に対して速度$v_1$で運動する慣性系と、その慣性系で速度$v_2$で運動する粒子があるとします。
静止系から見たこの粒子の速度$V=\frac{dx}{dt}$を求めます。

速度$v_1$で走る車から速度$ ...

ここでは、特殊相対性理論に関するパラドックスをいくつか紹介したいと思います。
Wikipediaの記事に載っていることをそのまま紹介するだけなので、Wikipedia信者の方はそちらをご覧ください。

時計のパラドックス ...